Os números primos são em número infinito

Como sabes, um número primo é um número natural, diferente de 1, que é divisível apenas por 1 e por si próprio. Podemos desde logo concluir que:

• o único número par que é primo é o 2 (todos os outros números pares são divisíveis por 2);
• para além do 2 e do 3, dois números consecutivos nunca são primos, dado que um deles é par.

Prova-se que há um número infinito de números primos, tal como afirmou e provou Euclides (300 a. C.). Na sua obra Elementos, Livro 9, Proposição 20, pode ler-se:

Os números primos são mais do que qualquer número grande atribuído aos números primos.

Façamos uma breve demonstração desta propriedade.

Comecemos por supor que é falsa, ou seja, que há um número finito de números primos. Designemos, então, o maior número deste conjunto por $N$. Isto é, $N$ será o maior número primo que existe.

Consideremos o número natural $P$, que se obtém multiplicando todos os números primos existentes (em número finito, pela nossa hipótese) e adicionando uma unidade a esse valor:

$$P = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times N + 1$$

Continuando o nosso raciocínio, o número $P$ não poderá ser primo, visto ser maior do que $N$. Ora, não sendo primo, o número $P$ terá de ser divisível por algum número primo ($2, 3, 5, \ldots, N$). Consideremos que $P$ é divisível pelo número primo $k$.

Consideremos, ainda, o número $Q$ que se obtém multiplicando os $N$ números primos:

$$Q = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times N$$

Este número também é divisível por $k$, logicamente. E se fizermos a diferença entre $P$ e $Q$, obtemos um número igualmente divisível por $k$. Mas esta diferença, $P - Q$, é igual a 1, o que nos leva à afirmação de que 1 é divisível por $k$, e portanto $k = 1$. No entanto, 1 não é um número primo, pelo que chegamos a uma impossibilidade, uma contradição, o que nos permite concluir que $P$ terá de ser primo!

Encontrámos, assim, um número primo maior do que $N$, o que nos mostra que a nossa suposição inicial, de que existia o maior número primo, é falsa.

Conclusão, a propriedade é verdadeira: há uma infinidade de números primos.

Portanto: o número de números primos é infinito!