Arquivo de desafios

Desafio 1 · Desafios

Número de bilhetes

A escola de Odete vai realizar uma angariação de fundos, vendendo rifas. A turma dela ficou responsável por vender os bilhetes de 2000 até 9999. Desses bilhetes, o professor Júlio…

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Desafio 2 · Desafios

Calcula a área do quadrado vermelho

Na figura estão, para além do quadrado vermelho, outros 4 quadrados, posicionados como a figura sugere, com áreas 3, 12, 12 e 27. O quadrado de área 3 está colocado sobre o…

Desafio 3 · Desafios

2 = 1. Onde está o erro?

Sejam $a$ e $b$ dois números reais, sendo ambos diferentes de zero. Suponhamos que $a = b$. Então, se $a = b$, multiplicando os dois lados da igualdade por $a$ temos: $a^2 = ab$. Subtraindo

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Desafio 1 · Resoluções dos desafios da edição anterior

Quantas girafas e quantas avestruzes?

Antes de saírem do parque, Bob e Helen atravessaram o Jardim Zoológico. Numa jaula viram uma mistura de girafas e de avestruzes. Depois de terem saído, Bob falou com Helen: —…

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Desafio 2a · Resoluções dos desafios da edição anterior

O Leão sozinho

Numa ocasião, a Alice encontrou o Leão sozinho. Ele fez as seguintes afirmações: “Ontem foi dia de eu mentir.” “Vou mentir daqui a 3 dias.” Em que dia da semana estamos?

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Desafio 2b · Resoluções dos desafios da edição anterior

O Leão e o Unicórnio

Numa ocasião, a Alice encontrou o Leão e o Unicórnio, que lhe disseram: U: “Ontem foi dia de eu mentir.” L: “Amanhã vou dizer a verdade.” Em que dia da semana estamos?

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Desafio 3 · Resoluções dos desafios da edição anterior

No quadrado

O quadrado pequeno tem 1 m de lado e o grande 1,5 m. Este tem um dos vértices no centro do quadrado pequeno. O lado do quadrado grande corta o lado do pequeno ao terço do seu…

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Desafio · As Constantes de Kaprekar

Número máximo de etapas

Haverá um número máximo de etapas necessárias para atingir este valor?

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Desafio 1 · Desafios

Quantas girafas e quantas avestruzes?

Antes de saírem do parque, Bob e Helen atravessaram o Jardim Zoológico. Numa jaula viram uma mistura de girafas e de avestruzes. Depois de terem saído, Bob falou com Helen: —…

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Desafio 2 · Desafios

No quadrado

O quadrado pequeno tem 1 m de lado e o grande 1,5 m. Este tem um dos vértices no centro do quadrado pequeno. O lado do quadrado grande corta o lado do pequeno ao terço do seu…

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Desafio 3a · Desafios

O Leão sozinho (edição anterior, corrigido)

Devido a um erro no enunciado do problema 2 da edição anterior, voltamos a colocar o problema, com a sua formulação correta. Numa ocasião, a Alice encontrou o Leão sozinho. Ele…

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Desafio 3b · Desafios

O Leão e o Unicórnio

Numa ocasião, a Alice encontrou o Leão e o Unicórnio, que lhe disseram: U: “Ontem foi dia de eu mentir.” L: “Amanhã vou dizer a verdade.” Em que dia da semana estamos?

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Desafio · Fatorização colorida

Quantos números primos há na imagem?

Recorda que 1 não é primo.

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Desafio · Fatorização colorida

Os dois números em falta

Qual é a representação dos dois números em falta: 57 e 80?

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Desafio · Ábaco de Napier

Potências de 2

Experimenta este método para escreveres os números 42, 100 e 338.

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Desafio · Ábaco de Napier

Constrói um tabuleiro

Constrói um tabuleiro destes e faz $16 \times 20$ e $13 \times 13$.

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Desafio · A matrícula de um carro é um “número disfarçado”

A matrícula CD-45-FX

Qual será o número correspondente à matrícula CD-45-FX?

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Desafio · A matrícula de um carro é um “número disfarçado”

E ao contrário?

Consegues descobrir um algoritmo para converter um número numa matrícula?

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Desafio · Aconteceu no AEDS

Torneio de xadrez

Num torneio de xadrez participaram 6 jogadores e cada jogador jogou uma vez com cada um dos restantes jogadores. Uma derrota vale 0 pontos, um empate vale 1 ponto (para cada…

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Desafio 1 · Desafios

Festa à noite

Estavam 20 pessoas numa festa à noite. Maria dançou com 7 rapazes, Olga, com oito, Vera, com nove, e assim sucessivamente, até chegar à última rapariga, a Nina, que dançou com…

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Desafio 2 · Desafios

No círculo

Temos aqui um círculo sem quaisquer marcações. É possível encontrar o seu centro utilizando apenas um esquadro?

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Desafio 3 · Desafios

O problema dos pães

Certo dia, dois viajantes encontraram, caído na estrada, um rico mercador que havia sido assaltado. Como estava esfomeado, pediu-lhes algo para comer. Um dos viajantes trazia três…

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Desafio 4a · Desafios

Problema A

L: “Ontem foi dia de eu mentir.” U: “Ontem foi dia de eu mentir, também.” Em que dia da semana estamos?

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Desafio 4b · Desafios

Problema B

L: “Ontem foi dia de eu mentir.” U: “Vou mentir dois dias depois de amanhã.” Em que dia da semana estamos?

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Desafio · China antiga

Na mesa de cálculo

Experimenta fazer $23 \times 12$ e $56 \times 33$.

Desafio · China antiga

Experimenta fazer

$11 \times 13$, $14 \times 19$, $46 \times 22$ e $311 \times 45$.

Desafio 1 · Combinatória — palavras de ABRIL

Palavras de ABRIL

Dispondo as cinco letras da palavra ABRIL de todos os modos possíveis, podemos formar 120 palavras diferentes (por exemplo, RBLAI, RALIB, BARIL, LIBRA, etc.). Se as escrevermos…

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Desafio 2 · Combinatória — palavras de ABRIL

Algarismos 1

Escrevendo os números de 1 a 100, inclusive, quantos algarismos 1 utilizamos? E de 1 a 1000?

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Desafio 3 · Combinatória — palavras de ABRIL

Códigos crescentes

Considera todos os códigos formados por 4 algarismos. Quantos destes têm os algarismos por ordem crescente, da esquerda para a direita?

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Desafio · Curiosidades

Primos que terminam em 2, 5 ou 0

Os únicos números primos que terminam em 2 e 5 são 2 e 5. Nenhum número primo termina em 0. Porquê?

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Desafio 1 · Desafios e passatempos para férias

No quadrado

No quadrado $[ABCD]$, constrói o ponto $M$ tal como se indica na figura, desenhando $[MD]$ e $[MC]$ com um ângulo de 15° em relação a $[DC]$. Demonstra que o triângulo $[MAB]$ é equilátero.

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Desafio 2 · Desafios e passatempos para férias

Em viagem

Timóteo sai de Paris, viajando a velocidade constante. Passa por um marco que contém dois algarismos. Uma hora depois passa por outro marco, contendo os dois mesmos algarismos…

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Desafio 3 · Desafios e passatempos para férias

O avô e o neto

O que vou contar sucedeu em 1932. A minha idade nesse ano era expressa pelo número formado pelos dois últimos algarismos do ano em que nasci. Ao dar conhecimento ao meu avô desta…

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Desafio 4 · Desafios e passatempos para férias

Qual é o mais alto?

Este problema apareceu na edição anterior mas tinha um erro no enunciado. Por esse motivo, propõe-se novamente o problema, agora com a sua formulação correta. Um general tenta…

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Desafio 5 · Desafios e passatempos para férias

Problema dos prisioneiros ou dos chapéus

Era uma vez 4 prisioneiros. O guarda avisa que todos eles serão libertados se pelo menos um responder corretamente qual é a cor do chapéu que está usando. Diz-lhes que dois dos…

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Desafio 6a · Desafios e passatempos para férias

Problema 1

Uma pessoa que estava de passagem encontra três habitantes da Ilha ($A$, $B$ e $C$) e pergunta ao $A$: “És Verdadeiro ou Mentiroso?” Não tendo compreendido a resposta dada por $A$, o…

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Desafio 6b · Desafios e passatempos para férias

Problema 2

Certo dia, um forasteiro encontra dois habitantes desta ilha, a Ana ($A$) e o Bruno ($B$), e obtém a seguinte informação de um deles, a Ana: “somos ambos mentirosos”. Será que o…

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Desafio 6c · Desafios e passatempos para férias

Problema 3

Noutra ilha , os habitantes são de 3 tipos: verdadeiros, mentirosos ou normais. Os verdadeiros dizem sempre a verdade, os mentirosos mentem sempre e os normais umas vezes falam…

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Desafio · Yupana — o ábaco inca

Representa no Yupana

Experimenta representar 28, 64 e 325, por exemplo.

Desafio · Yupana — o ábaco inca

Somar no Yupana

Deixamos a teu cargo fazer as seguintes operações: $47 + 35$ e $322 + 185$. Bom trabalho! Envia-nos os teus esquemas para divulgarmos a tua resolução.

Desafio · Yupana — o ábaco inca

Multiplicar no Yupana

Experimenta fazer $55 \times 4$ e $245 \times 13$.

Desafio · Curiosidades

Quantas voltas dá o círculo A?

Na figura, o raio do círculo A é 1/3 do raio do círculo B. Iniciando na posição que a figura mostra, o círculo A roda à volta do círculo B. Quantas voltas terá de dar o círculo A…

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Desafio 1a · Desafios

Quantos triângulos?

Quantos triângulos existem nesta figura?

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Desafio 1b · Desafios

Quantos hexágonos regulares?

Quantos hexágonos regulares existem nesta figura?

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Desafio 2 · Desafios

Qual é o mais alto?

Um general tenta escolher um cozinheiro de entre 625 voluntários. Manda-os formar num quadrado de 25 filas (horizontais) e 25 colunas (verticais). Manda sair o mais alto de cada…

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Desafio 3 · Desafios

Economia doméstica

A Ana Luzia foi ao supermercado. À entrada recebeu um folheto onde se publicitavam três detergentes à venda. Eram todos muito bons, só que: a embalagem de NEV era 40 % mais cara…

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Desafio · Curiosidades

Algarismo das unidades

Multiplicando todos os números ímpares de 1 a 2023, qual é o algarismo das unidades do resultado? Consegues justificar esta propriedade?

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Desafio 1 · Desafios

A nação de Zox

A nação de Zox consiste em cinco ilhas: Zog, Zod, Zob, Zop e Zoz. A população total das cinco ilhas é de 750 Zoxianos. Calcula quantos Zoxianos vivem em cada ilha. Seguem-se…

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Desafio 2 · Desafios

What?!

Movendo as quatro peças, passamos do triângulo da esquerda para o da direita, que são (ou parecem) iguais. Mas sobra um quadrado! Como é que explicas isto?

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Desafio 3 · Desafios

Às compras

Timóteo gastou tudo o que tinha no bolso em cinco lojas. Em cada loja gastou 1 € a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto tinha o Timóteo no bolso à partida?

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Desafio 1 · Desafios

As bodas de rubi

Na celebração das suas bodas de rubi (40 anos de casados), Guilherme e Rute convidaram toda a família para uma festa. Pensando na sua longa vida juntos, Guilherme recordou como se…

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Desafio 2 · Desafios

Em quantas partes dividem o plano várias retas?

Três linhas retas dividem o plano, no máximo, em 7 regiões, como se pode perceber pela figura. Completa a tabela seguinte, escrevendo em cada caso o número máximo de regiões que…

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Desafio 3 · Desafios

Uma moeda a menos

Temos nove sacos com moedas. O primeiro tem 100 moedas, o segundo tem 200, o terceiro tem 300, e assim sucessivamente até ao último que tem 900 moedas. As moedas são todas iguais…

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Desafio · Triângulo de Pascal e restos

E com 4 e 5 cores?

Constrói um triângulo, escolhe 4 cores, e vai pintando os elementos de acordo com o resto da sua divisão por 4. Vês algum padrão? Tenta definir a regra para colorir o triângulo.…

Desafio 1 · Desafios

O caracol

Um caracol sobe um muro com 10 metros de altura. Em cada dia sobe 2 metros, mas de noite deixa-se escorregar 1 metro. Ao fim de quantos dias chega o caracol ao cimo do muro?

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Desafio 2 · Desafios

Contando conjuntos

A Genoveva quer escolher um conjunto de três números inteiros diferentes, de 1 a 9, cujo produto seja divisível por 4 mas não seja divisível por 8. Por exemplo, a Genoveva poderá…

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Desafio 3 · Desafios

Número de triângulos

Com os 9 pontos de um tabuleiro 3 × 3, quantos triângulos consegues formar? E se o tabuleiro tiver 4 × 4 = 16 pontos?

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Desafio 4 · Desafios

Qual é a moeda falsa?

Temos oito moedas rigorosamente iguais na sua aparência exterior. No entanto, uma delas é falsa e pesa menos do que as outras sete. Descobre qual é a falsa fazendo apenas duas…

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Desafio 5 · Desafios

Moedas falsas (II)

Uma pessoa tem 10 sacos com moedas, e cada saco tem 10 moedas. Num dos sacos só há moedas falsas e nos outros só moedas verdadeiras. As moedas falsas pesam todas 9 gramas, e as…

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Desafio 6 · Desafios

A Banca Francesa

O jogo de Casino “Banca Francesa” é um jogo português. Inicialmente era jogado apenas nos casinos portugueses, agora é jogado internacionalmente. Neste jogo, o croupier (empregado…

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Desafio · Triângulo de Pascal e restos

Restos da divisão por 3

Constrói um triângulo, escolhe 3 cores e vai pintando os elementos de acordo com o resto da sua divisão por 3. Vês algum padrão?

Desafio · Curiosidades numéricas

Qual é o menor número capicua?

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Desafio · Curiosidades numéricas

Qual é o menor número capicua que é um quadrado perfeito?

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Desafio · Curiosidades numéricas

Quantos outros quadrados há menores que 1000 que sejam capicuas?

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Desafio · Curiosidades numéricas

Há cinco números primos capicuas entre 100 e 200. Quais são?

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Desafio · Curiosidades numéricas

Experimenta com 1961

Experimenta, por exemplo, com o número $1961$. O processo terá de ir além da primeira etapa. Quantas vezes terás de repetir o processo até obter uma capicua?

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Desafio · Curiosidades numéricas

E se escolheres o número 1999?

Quantas etapas são precisas agora?

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Desafio 1 · Desafios

Torre de Hanói

O famoso jogo da Torre de Hanói foi inventado pelo matemático francês Édouard Lucas (1840–1891). Trata-se de um “quebra-cabeças” que consiste numa base contendo três pinos, em que…

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Desafio 2 · Desafios

O claustro do mosteiro

Um mosteiro medieval foi construído à volta de um claustro (região central) de forma quadrada. Este claustro tinha um poço que abastecia de água todos os monges. O poço estava…

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Desafio 3 · Desafios

O poder do “4”

Escreve os números inteiros de 0 a 100, utilizando apenas quatro algarismos 4 e operações matemáticas elementares tais como a soma, a divisão, a potenciação ou o fatorial (*). Por…

Desafio 4 · Desafios

A ida ao museu

Quatro amigos vão visitar um museu e um deles resolve entrar à borla. Aparece um guarda que quer saber qual deles entrou sem pagar. “Eu não fui”, diz o Benjamim. “Foi o Carlos”…

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