Resoluções dos desafios da edição anterior

Curiosidades numéricas

1) “Sneaky”

Extraído de “Mathematics in School”

Seja um número qualquer de dois algarismos, $ab$, por exemplo 95. Calcula a diferença positiva entre os quadrados dos seus algarismos. Se neste cálculo o resultado for outro número de dois algarismos, repete-se o processo. Se for um número de um algarismo, para-se. Quando este último algarismo for zero, então obtenho um “sneaky”.

• Determina os sneakies existentes entre os números 10 e 99. Resposta: 22.
• Qual é o número que demora mais passos a chegar a zero — o mais sneaky? Resposta: é o 70, que precisa de 4 etapas.

Passemos à explicação destes resultados. Nesta resolução, começámos por construir a tabela com os números de 10 a 99, organizada em 9 linhas e 10 colunas. À medida que íamos fazendo os cálculos, fomos assinalando os sneakys e os não sneakys na tabela.

Comecemos por observar que:

• se $a = b$, o número é sneaky (visto que os quadrados dos algarismos são iguais). Logo, são sneaky: 11, 22, …, 99. Isto dá-nos todos os números dessa diagonal;
• se $ab$ for sneaky, então $ba$ também o é. Podemos assinalar esses dois números na tabela;
• nos cálculos que efetuamos, passamos por resultados intermédios. Se o número em análise for sneaky, todos esses números intermédios o são, também. Conclusão semelhante se tira, caso o número não seja sneaky.

Por exemplo, $15 \to 25 - 1 = 24 \to 16 - 4 = 12 \to 4 - 1 = 3$. Concluímos que 15 não é sneaky e também não o são o 24 e o 12. Podemos cortar esses dois números na tabela (bem como o 42 e o 21).

Então basta averiguar a condição para a parte da tabela acima da diagonal (ou a de baixo) e os números da coluna da esquerda: 10, 20, 30, …, 90. A negrito, os 22 números sneaky:

10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99

Por exemplo, o 70 é o mais sneaky: $70 \to 49 \to 81 - 16 = 65 \to 36 - 25 = 11 \to 0$.

Desafios

1) O caracol

Professora Maria do Céu Faria

1.º dia: $+2 - 1 = +1$ metro; em cada dia avança 1 metro. Logo, no fim do 8.º dia já subiu 8 metros. No 9.º dia, ao subir os dois metros, atinge o topo (já não escorrega…).

Resposta: ao fim de 9 dias o caracol chega ao cimo do muro.

2) Contando conjuntos (OPM 2023)

A Genoveva quer escolher um conjunto de três números inteiros diferentes, de 1 a 9, cujo produto seja divisível por 4 mas não seja divisível por 8.

• Os 3 números não podem ser todos ímpares (o produto seria ímpar).
• Os três números não podem ser todos pares (o produto seria divisível por 8).

Há duas situações possíveis:

• 2 números ímpares e um par (o algarismo par terá de ser o 4): $\{4,1,3\}$, $\{4,1,5\}$, $\{4,1,7\}$, $\{4,1,9\}$, $\{4,3,5\}$, $\{4,3,7\}$, $\{4,3,9\}$, $\{4,5,7\}$, $\{4,5,9\}$, $\{4,7,9\}$;
• 2 números pares e um ímpar (nenhum dos pares pode ser divisível por 4, logo terão de ser 2 e 6): $\{2,6,1\}$, $\{2,6,3\}$, $\{2,6,5\}$, $\{2,6,7\}$, $\{2,6,9\}$.

Resposta: a Genoveva pode escolher 15 conjuntos.

3) Número de triângulos

Adaptado de Atividades matemáticas

Com os 9 pontos do tabuleiro, podemos fazer 76 triângulos. E se o tabuleiro tiver 4 × 4 = 16 pontos serão 516:

$$516 = {}^{16}C_3 - 44, \qquad 44 = 10 \times 4 + 4,$$

onde 10 é o número de linhas, colunas e diagonais com 4 pontos (cada uma dá ${}^{4}C_3 = 4$ conjuntos de 3 pontos alinhados) e 4 é o número de diagonais com 3 pontos.

Nota: ${}^{16}C_3 = 560$ é o número de conjuntos de 3 pontos que se podem formar de entre os 16.

4) Moedas falsas (I)

José Paulo Viana, Desafios

Temos oito moedas rigorosamente iguais na sua aparência exterior. No entanto, uma delas é falsa e pesa menos do que as outras sete. Fazendo apenas duas pesagens numa balança de pratos, conseguimos descobrir a moeda falsa do seguinte modo. Pesam-se dois grupos de 3 moedas, deixando duas à parte:

• se os pratos equilibrarem, a moeda falsa está no grupo das duas que não foram pesadas. Pesam-se, então, essas moedas (2.ª pesagem), uma em cada prato: a mais leve é a que fica em cima;
• se os pratos não equilibrarem, a moeda mais leve é uma das três que estão no prato que fica em cima. Pesam-se duas delas, uma em cada prato (2.ª pesagem) e deixa-se uma de parte; se os pratos equilibrarem, a moeda falsa é a que ficou por pesar; se os pratos não equilibrarem, é a que está no prato que fica em cima.

5) Moedas falsas (II)

José Paulo Viana, Desafios

Temos 10 sacos com 10 moedas cada um. Num dos sacos só há moedas falsas, com 9 gramas cada, e nos outros nove só moedas verdadeiras, que pesam 10 gramas cada. Apenas com uma pesagem, podemos descobrir qual é o saco das moedas falsas, pesando o seguinte grupo de moedas: uma moeda do saco 1, duas moedas do saco 2, três do saco 3, e assim sucessivamente, acabando com 10 moedas do saco 10, num total de 55 moedas.

Se o saco falso for o 3, por exemplo, o conjunto tem 3 moedas mais leves, pelo que pesará $550 - 3 = 547$ g. Assim, o número do saco será dado pela diferença entre 550 g e o peso do conjunto das moedas.

6) A Banca Francesa

No jogo de Casino “Banca Francesa”, o croupier lança 3 dados cúbicos e equilibrados. Cada jogador tem três apostas à escolha: a Série Grande (soma 14, 15 ou 16), a Série Pequena (soma 5, 6 ou 7) e a Série dos Ases (soma 3). Não saindo estes números, a jogada é considerada nula, sendo repetida.

Resolução. Lançando dois dados, as somas que podemos obter são todos os números inteiros entre 2 e 12. Uma vez que, neste jogo, são lançados 3 dados, temos de pensar na soma destes. Se à soma dos dois primeiros acrescentarmos o valor do 3.º dado, constatamos que, no caso da Série Grande:

• para a soma dos três dados ser 14, a soma dos dois primeiros valores poderá ser 12 (12 + 2), 11 (11 + 3), 10 (10 + 4), 9 (9 + 5) e 8 (8 + 6) — são 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 situações;
• para a soma dos três dados ser 15, a soma dos dois primeiros valores poderá ser 12 (12 + 3), 11 (11 + 4), 10 (10 + 5) e 9 (9 + 6) — 10 situações;
• para a soma dos três dados ser 16, a soma dos dois primeiros valores poderá ser 12 (12 + 4), 11 (11 + 5) e 10 (10 + 6) — 6 situações.

Temos 31 situações possíveis que satisfazem a “Série Grande”. Raciocínio análogo podemos fazer com as somas 5, 6 e 7, o que nos dá, igualmente, 31 situações. Ora, a Série dos Ases equivale a obter soma 3, o que acontece apenas num caso, $(1, 1, 1)$.

Uma vez que se repete a jogada se não sair nenhuma destas situações, concluímos que existem apenas 63 ($31 + 31 + 1$) resultados válidos neste jogo, o que se traduz em 63 resultados “possíveis” em cada jogada.

Assim, a probabilidade de ganhar com a série Grande é igual à de ganhar com a Pequena, $31/63$, e a probabilidade de ganhar com a série Ases é $1/63$. Verificamos, ainda, que a probabilidade de ganhar com as Séries Grande ou Pequena é 31 vezes superior à de ganhar com a Série dos Ases; a probabilidade de ganhar com a Série dos Ases é 62 vezes inferior à de ganhar com as outras duas séries juntas (Grande ou Pequena).

Boas férias! No próximo ano letivo estaremos de volta!