+MAT

Maurits Cornelis Escher, neerlandês, foi um dos mais famosos artistas gráficos de todos os tempos. Notabilizou-se pela criatividade que revelou nos seus trabalhos, que mostravam não só geometrias impossíveis, tais como “subidas” e “descidas”, como também incríveis “metamorfoses” (I, II e III, Ar e Água, Répteis…).

Desafiámos o aluno Pedro Vieira, do 11.º K, a fazer um trabalho inspirado em Escher. O resultado foi o trabalho que se segue.

Parabéns ao Pedro Vieira pelo seu magnífico trabalho e empenho!

A obra de Escher

Escher, além de ter sido um artista gráfico, foi considerado um artista matemático e, sobretudo, geométrico. Deixou-nos 448 litografias e mais de 2000 desenhos. As figuras seguintes mostram alguns dos trabalhos com os quais se destacou.

Nas duas primeiras figuras, Escher criou uma ilusão de ótica com algumas figuras impossíveis:

• alguns dos soldados estão sempre a subir, outros sempre a descer, voltando ao ponto de partida;
• a água cai, mas as superfícies de onde e para onde cai estão no mesmo plano.

Nas figuras seguintes, observamos algumas das suas famosas metamorfoses:

• da figura humana para padrões geométricos (Cycle, litografia de 1938);
• entre aves e peixes (Sky and Water I, xilogravura de 1938);
• a transformação gradual de uma pequena cidade numa boneca chinesa, passando por cubos (Metamorfose I, litografia de 1937).

Para conheceres mais sobre o trabalho de Escher, podes consultar, entre outros, o site mcescher.com, de onde foram tiradas estas imagens.

Na figura, que aparece num documento sul-americano do séc. XVII, vê-se uma pessoa segurando um conjunto de fios (Quipu) e, em baixo, a representação de um objeto (ábaco Yupana), o que sugere a associação dos dois.

Artefactos arqueológicos destes objetos chegaram aos nossos dias, mas sem qualquer explicação sobre a sua utilização, razão pela qual o que se conhece sobre eles são possíveis teorias (interpretações) para o seu funcionamento. Pensa-se que estes povos utilizavam o ábaco Yupana para fazer contas e o conjunto de linhas com nós, os Quipus, para representação e registo de valores numéricos no dia a dia.

O Yupana destinava-se a cálculos numéricos — era um tabuleiro de cálculo. Para além das operações básicas da aritmética, permitia implementar algoritmos mais complexos — era a calculadora dos incas! Vejamos como é e como funciona o ábaco Yupana.

O ábaco Yupana era composto por 4 colunas e 5 ou mais linhas (o número de linhas está relacionado, como veremos a seguir, com a ordem de grandeza do resultado da conta a efetuar).

Em cada uma das cinco linhas, há quatro quadrados com, respetivamente, e da direita para a esquerda, uma, duas, três e cinco pintas. Somos de opinião de que as filas se destinam a representar os diversos dígitos da numeração decimal, sendo a linha inferior destinada às unidades, a segunda às dezenas, e assim sucessivamente.

— Jorge Nuno Silva

A representação dos números no Yupana

Os números de 0 a 9 representam-se na linha inferior; os números de 10 a 99 representam-se nas duas linhas inferiores.

Há uma característica notável neste ábaco: podemos representar qualquer número sem necessitar de ter mais do que uma marca em qualquer casa.

Desafio

Representa no Yupana

Experimenta representar 28, 64 e 325, por exemplo.

A resolução será publicada na próxima edição. Envia a tua resposta à equipa do +MAT!

Somar no Yupana: $248 + 125 = {?}$

Como se fazem as simplificações?

• Nota que $5 + 5 = 10$. Assim, duas marcas na casa do 5 equivalem a uma marca na casa do 1, na linha de cima. E isto acontece em qualquer linha: 5 + 5 unidades = 1 dezena, 5 + 5 dezenas = 1 centena, etc.
• Temos $1 + 1 + 2 + 3 = 7 = 5 + 2$. Assim, as quatro marcas da linha 2 equivalem a duas marcas nessa mesma linha, não havendo mais do que uma marca por casa.

Desafio

Somar no Yupana

Deixamos a teu cargo fazer as seguintes operações: $47 + 35$ e $322 + 185$. Bom trabalho! Envia-nos os teus esquemas para divulgarmos a tua resolução.

A resolução será publicada na próxima edição. Envia a tua resposta à equipa do +MAT!

Multiplicar no Yupana: $248 \times 15 = {?}$

1. Escrever $248 \times 15 = 248 \times (10 + 5) = 248 \times 10 + 248 \times 5$.
2. Fazer $248 \times 10$ (vimos que equivale a passar as peças para a linha de cima).
3. Fazer $248 \times 5$.
4. Somar os dois resultados anteriores.

O que é novo aqui? Fazer $248 \times 5$. Ora, $5 \times 248 = 248 + 248 + 248 + 248 + 248$, portanto teremos de considerar a representação de 248 e colocar 5 peças em cada casa, em vez de uma. E efetuar a soma, tal como vimos anteriormente.

$$248 \times 15 = 3720$$

Desafio

Multiplicar no Yupana

Experimenta fazer $55 \times 4$ e $245 \times 13$.

A resolução será publicada na próxima edição. Envia a tua resposta à equipa do +MAT!

Adaptado de Professor Jorge Nuno Silva, a quem muito agradecemos.

Um prédio vai ser pintado usando-se uma cor para cada andar. Sabendo que as cores utilizadas são verde e amarelo e que andares consecutivos não poderão ser pintados de amarelo, de quantas maneiras é possível fazer a pintura deste prédio? E se o prédio tiver $n$ andares?

Proposta de resolução

Para um prédio de 4 andares, temos 8 maneiras, que estão listadas na tabela (V — verde, A — amarelo). Repara que apenas a cor amarela tem restrições: poderá não estar presente ou ter até dois andares amarelos.

Situação	1.º andar	2.º andar	3.º andar	4.º andar
1	V	V	V	V
2	V	V	A	V
3	V	A	V	V
4	A	V	V	V
5	A	V	A	V
6	V	V	V	A
7	V	A	V	A
8	A	V	V	A

E se o prédio tiver $n$ andares? Vejamos as várias situações para 1, 2, 3, 4, 5 andares e formulemos uma conjetura. Se o prédio tiver:

• 1 andar → 2 possibilidades (verde ou amarelo);
• 2 andares → 3 possibilidades — basta acrescentar um andar a cada uma das situações anteriores: esse andar poderá ser pintado de verde, não havendo restrições, logo há 2 possibilidades, ou amarelo, mas aqui esta opção só é permitida se o andar anterior for verde, o que nos dá mais uma possibilidade: $2 + 1$;
• 3 andares → 5 possibilidades — seguindo o raciocínio anterior, serão os 3 anteriores (casos em que o 3.º andar é pintado de verde) + 2 (casos em que o 3.º andar é amarelo, o que se aplica às anteriores em que o 2.º andar era verde);
• 4 andares → 8 possibilidades (tabela acima);
• 5 andares — para o 5.º andar: na cor verde temos as 8 situações anteriores; na cor amarela, temos 5 possibilidades — todas as anteriores em que o 4.º andar é verde. Assim, há $8 + 5 = 13$ maneiras de pintar o prédio;
• o próximo andar poderá ter $13 + 8 = 21$.

N.º de andares	1	2	3	4	5	6	7	…
N.º de possibilidades	2	3	5	8	13	21	34	…

A solução lembra a sequência de Fibonacci! Espantoso! Seja $(u_n)$ a sucessão que dá o número de maneiras de pintar o prédio com $n$ andares. Tem-se

$$\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_2 = 3 \\ u_{n+2} = u_n + u_{n+1}, \quad n \in \mathbb{N} \end{cases}$$

Recorda que na sucessão (ou sequência) de Fibonacci cada elemento é obtido somando os dois anteriores a ele, sendo os dois primeiros 1 e 1, ou seja, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Nas figuras seguintes temos um mapa imaginário e o mapa de Portugal Continental.

Tenta colorir cada um dos mapas com menos de quatro cores. Como é óbvio, regiões adjacentes não podem ser pintadas com a mesma cor.

Na tua opinião, qual é o número mínimo de cores necessárias para colorir estes mapas?

Uma pista

O mapa imaginário é feito só de retas que atravessam todo o retângulo. Experimenta pintar as regiões alternadamente, como num tabuleiro de xadrez: cada vez que atravessas uma reta, mudas de cor. Quantas cores bastam?

E sabias que qualquer mapa pode ser pintado com, no máximo, quatro cores? É o famoso Teorema das Quatro Cores, demonstrado em 1976 com a ajuda de um computador — foi uma das primeiras grandes demonstrações a precisar de um!

Envia-nos imagens de mapas que tenhas conseguido pintar!

Jogo — Colorir o mapa

Propomos-te um jogo baseado nesta temática.

Regras do jogo

• Dois jogadores, A e B, quatro cores diferentes e um mapa por colorir.
• Cada um dos jogadores pinta sucessivamente uma região do mapa.
• Perde o primeiro que não consiga colorir adequadamente nenhuma das regiões ainda sem cor.

Envia-nos comentários sobre este jogo!

14 de março — Dia Mundial da Matemática e Dia do Pi

É o único número que tem um dia a celebrá-lo. Tem de ser um número muito importante. De facto, há várias constantes muito importantes e essenciais no estudo da Matemática, mas nenhuma é tão conhecida como o pi.

O pi é um número irracional; tem uma infinidade de casas decimais que não seguem nenhum padrão. Atualmente, conhecem-se 62,8 biliões de casas decimais deste número. Sugerimos-te que leias a 2.ª edição do ano 1 do +MAT para conheceres mais curiosidades do Pi.

Volume de uma pizza

O volume de uma pizza de raio $z$ e altura $a$ pode ser calculado através da expressão… Pizza:

$$\text{Pizza} = \text{Pi} \cdot z^2 \cdot a = \pi r^2 h$$

Rodrigo Paiva, 10.º B

O número 142 857

Este número é obtido quando convertemos a fração $1/7$ em número decimal: $1/7 = 0{,}142857142857\ldots$

Se multiplicarmos o número 142 857 por 1, 2, 3, 4, 5 e 6, o resultado é um número formado pelos 6 algarismos deste número, só que “baralhados”:

$$\begin{aligned} 142\,857 \times 1 &= 142\,857 \\ 142\,857 \times 2 &= 285\,714 \\ 142\,857 \times 3 &= 428\,571 \\ 142\,857 \times 4 &= 571\,428 \\ 142\,857 \times 5 &= 714\,285 \\ 142\,857 \times 6 &= 857\,142 \\ 142\,857 \times 7 &= 999\,999 \quad \text{(número curioso)} \end{aligned}$$

Mais “coincidências”: se multiplicarmos 142 857 por um número superior a 7, o resultado tem mais de 6 dígitos. Retirando os algarismos excedentes, à esquerda, e somando o número por eles formado com o número de 6 dígitos que se deixaram à direita, teremos novamente o número mágico ou uma sequência com os seus algarismos:

• $142\,857 \times 8 = 1\,142\,856 \to 1$ e $142\,856$. Ora, $142\,856 + 1 = 142\,857$;
• $142\,857 \times 13 = 1\,857\,141 \to 857\,141 + 1 = 857\,142$;
• $142\,857 \times 325 = 46\,428\,525$ (8 algarismos) $\to 46 + 428\,525 = 428\,571$.

Experimenta com outros números.

Múltiplos de 37

Ao multiplicarmos 37 pelos múltiplos de 3 menores do que 30, deparamo-nos com um facto curioso:

$$3 \times 37 = 111,\quad 6 \times 37 = 222,\quad 9 \times 37 = 333,\quad \ldots,\quad 27 \times 37 = 999$$

Se multiplicarmos 37, ainda, pelos múltiplos de 3 compreendidos entre 33 e 54, também encontramos uma sequência muito interessante de resultados:

$$\begin{aligned} 33 \times 37 &= 1221 & 36 \times 37 &= 1332 & 39 \times 37 &= 1443 & 42 \times 37 &= 1554 \\ 45 \times 37 &= 1665 & 48 \times 37 &= 1776 & 51 \times 37 &= 1887 & 54 \times 37 &= 1998 \end{aligned}$$

37 é, de facto, um número curioso! Consegues explicar este facto?

Sofia Ferreira Gaspar, 11.º E

A intuição às vezes falha

A curiosidade que aqui apresentamos é um problema que integrou uma das provas do SAT, um conhecido exame dos Estados Unidos da América que faz a seleção dos estudantes ao nível de ensino superior. Este exame é constituído por 30 questões de escolha múltipla e tem a duração de 30 minutos, o que significa que, em média, o aluno terá 1 minuto para cada resposta. Não serão perguntas de grande complexidade… mas este problema não tinha a resposta nas cinco opções de resposta apresentadas no enunciado!

Desafio

Quantas voltas dá o círculo A?

Na figura, o raio do círculo A é 1/3 do raio do círculo B. Iniciando na posição que a figura mostra, o círculo A roda à volta do círculo B. Quantas voltas terá de dar o círculo A até voltar à sua posição inicial, o momento em que o centro do círculo A alcança, pela primeira vez, o ponto de partida?

Problema sugerido pelo aluno Luís Rodrigues, 11.º K

A tua respostavoltasVerificar

Ver resolução

Uma das respostas possíveis era 3, que era a resposta esperada, mas não correta. Porque era a esperada? Considerando as linhas que contornam os dois círculos, uma mede o triplo da outra, logo 3 voltas parecia a resposta a dar. No entanto não é a correta.

Para te convencer, façamos uma simplificação do problema: consideremos dois círculos iguais, um a rodar à volta do outro. O mesmo raio, o mesmo perímetro, seria necessário dar apenas uma volta. Mas não é assim. Podes experimentar com duas moedas iguais e constatar que precisamos de duas voltas, e não de apenas uma.

Voltemos ao nosso problema. Podes construir dois círculos com cartão grosso e fazer a experiência: são necessárias 4 voltas. Repara que o centro do círculo menor percorre uma circunferência de raio 4, percorrendo 4 vezes a distância do contorno do círculo maior.

Uma data capicua

No dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Existiu uma combinação de algarismos que somente ocorre duas vezes em cada milénio. Essa combinação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02/2002:

$$\mathbf{200220022002}$$

Isto é uma simetria que na matemática é chamada de capicua, ou seja, os números podem ser lidos tanto da direita para a esquerda como da esquerda para a direita. A raridade deve-se ao facto de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).

A última ocasião em que isso ocorreu, antes desta, foi às 11h11min de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11:11 11/11/1111. A próxima vez será às 21h12min de 21 de dezembro de 2112 (21:12 21/12/2112), mas provavelmente não estaremos aqui para a presenciar.

Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

Matilde Angélico e Inês Alves, 10.º F; somatematica.com.br

Desafio 1a

Quantos triângulos?

Quantos triângulos existem nesta figura?

100 jogos geométricos, Pierre Berloquin

A tua respostatriângulosVerificar

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Contamos por tamanhos:

• lado 1: os 24 triângulos pequenos;
• lado 2: 12 triângulos (6 com o vértice no centro do hexágono e 6 apoiados nos lados);
• lado 3: 2 triângulos grandes (um a apontar para cima e outro para baixo).

No total, $24 + 12 + 2 =$ 38 triângulos.

Desafio 1b

Quantos hexágonos regulares?

Quantos hexágonos regulares existem nesta figura?

100 jogos geométricos, Pierre Berloquin

A tua respostahexágonosVerificar

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Um hexágono regular desenhado nas linhas da figura tem o centro num dos pontos da rede.

• lado 1: podem ter o centro em qualquer ponto interior a uma distância de até 2 do centro: 19 hexágonos;
• lado 2: centro a uma distância de até 1: 7 hexágonos;
• lado 3: só o hexágono exterior: 1.

No total, $19 + 7 + 1 =$ 27 hexágonos.

Desafio 2

Qual é o mais alto?

Um general tenta escolher um cozinheiro de entre 625 voluntários. Manda-os formar num quadrado de 25 filas (horizontais) e 25 colunas (verticais). Manda sair o mais alto de cada coluna e escolhe o mais baixo de entre eles.

Depois muda de ideias. Fá-los regressar aos respetivos lugares, manda sair o mais pequeno de cada fila e escolhe o maior de entre eles.

Sendo diferentes os dois cozinheiros escolhidos, qual deles é o mais alto?

Na versão em papel, o enunciado falava em “fila” nas duas escolhas, o que não permitia chegar a uma resposta. O erro foi corrigido na edição seguinte e aqui já aparece a versão correta.

100 jogos lógicos, Pierre Berloquin

Escolhe a tua resposta

O primeiroO segundoNão é possível saber

Verificar

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Seja $A$ o primeiro escolhido (o mais alto da sua coluna) e $B$ o segundo (o mais baixo da sua fila). Consideremos o voluntário $C$ que está, ao mesmo tempo, na coluna de $A$ e na fila de $B$.

• Como $A$ é o mais alto da sua coluna, $A$ é pelo menos tão alto como $C$.
• Como $B$ é o mais baixo da sua fila, $C$ é pelo menos tão alto como $B$.

Logo $A \ge C \ge B$ e, sendo diferentes, o primeiro cozinheiro é o mais alto.

Desafio 3

Economia doméstica

A Ana Luzia foi ao supermercado. À entrada recebeu um folheto onde se publicitavam três detergentes à venda. Eram todos muito bons, só que:

• a embalagem de NEV era 40 % mais cara que a de TIC e 20 % mais leve que a de SOL;
• a embalagem de SOL era 50 % mais pesada que a de TIC e custava mais 20 % que a de NEV.

A Ana Luzia não se atrapalhou e foi buscar a mais económica. Que detergente comprou ela?

Mais adiante reparou que o preço do seu queijo preferido tinha subido 10 %. Resolveu então comprar menos 10 % que o habitual. Desta forma, gastou mais, menos ou o mesmo que o costume?

Eduardo Veloso e José Paulo Viana, Desafios 3, Edições Afrontamento

Escolhe a tua resposta

NEVTICSOL

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Tomemos a embalagem de TIC com preço 1 e peso 1.

	Preço	Peso	Preço por unidade de peso
TIC	1	1	1
NEV	1,4	$0{,}8 \times 1{,}5 = 1{,}2$	$\approx 1{,}17$
SOL	$1{,}2 \times 1{,}4 = 1{,}68$	1,5	1,12

A mais económica é TIC.

No queijo: $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$. Gastou menos (1 % a menos) do que o costume.

Se quiseres enviar a(s) tua(s) resolução(ões), podes utilizar o endereço de email do jornal: maismatjornal@gmail.com. Serão selecionadas para publicação as melhores resoluções. E duas delas terão prémio!

O índice PDSI (Palmer Drought Severity Index) foi desenvolvido por Palmer para detetar e classificar períodos de seca.

• O mês de janeiro de 2024 em Portugal Continental foi o terceiro mais quente desde 1931 e o mais quente dos últimos 58 anos. Fevereiro foi o mais quente de sempre!
• Janeiro de 2024 foi 1,66 °C mais quente do que a estimativa da média de janeiro na era pré-industrial (período entre 1850 e 1900).
• No final de dezembro de 2023 verificou-se que a região Centro e Sul apresentava um cenário de seca (38 % do território); a 31 de janeiro, 20 % do território estava em seca meteorológica.

Qual é o nível de água nas barragens e albufeiras de Portugal?

No Algarve (dados do dia 24 de fevereiro de 2024):

• Barragem de Odeleite (42,43 %) → apenas 31,22 % de volume útil;
• Barragem de Odelouca (32,26 % do total) → 16,97 % útil;
• Barragem de Beliche (35,32 % do total) → 27,61 % útil.

No Alentejo, temos a Barragem do Alqueva, que, como sabes, é o maior lago artificial da Europa. O Alqueva está, à data, com 87 % do seu volume total.

Muitos desertos são formados a partir do processo de desertificação do solo, que consiste na perda de vegetação através da ação do homem ou da própria natureza. Será que teremos um deserto em Portugal no futuro?

Para saberes mais, consulta barragens.pt e o observatório de secas do IPMA.

Curiosidade: pesquisa no Google “Blue Dragon River”. Surpreendido?

XLII Olimpíadas Portuguesas de Matemática

No dia 10 de janeiro de 2024, realizaram-se as segundas eliminatórias das XLII Olimpíadas Portuguesas de Matemática, iniciativa promovida pela Sociedade Portuguesa de Matemática. Participaram no evento dois alunos da categoria Júnior, Gabriel Sobreira e Tomás Venda, dois alunos da categoria A, Beatriz Conde e Pedro Gameiro, e três alunos da categoria B, Ana Luísa Fonseca, Miguel Filipe Cardo e Miguel José Rodrigues. O evento teve lugar na Escola Secundária Afonso Lopes Vieira.

Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos

Hoje, dia 14 de março, está a decorrer o 17.º Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos. A Escola Secundária do nosso agrupamento participa no evento com os alunos Diana Vieira Marques, do 11.º F, Rafael Frade e Micael Mendes, do 2.º B, nos jogos Nex, Atari Go e Produto, respetivamente. Boa sorte a todos os participantes!

Exposição de trabalhos de alunos

Na disciplina de Matemática, mais concretamente no decorrer da lecionação do módulo A8 — Modelos Discretos, foi solicitado aos alunos um trabalho com formas geométricas que possuíssem um padrão interessante na sua construção, formando figuras muitas vezes estéticas e bonitas. A réplica de alguns fractais simples foi evidenciada nas apresentações, o que realçou positivamente o empenho e interesse dos alunos pela disciplina.

Parabéns a todos os alunos do EP — Técnico de Gestão (3.º C) e Técnico de Contabilidade (3.º E).

Professora Lúcia Casalta

Quase a finalizar esta edição, deixamos-te algumas sugestões de leituras e de filmes. Os livros que propomos estão ambos disponíveis na Biblioteca Municipal. O filme O Homem que Viu o Infinito pode ser visto ou requisitado na Biblioteca da ESDS. Envia-nos os teus comentários.

Livros

Filmes

Por agora, é só! Mas não terminamos esta edição sem antes apresentarmos as resoluções dos desafios da edição anterior! Desejando que tenhas gostado, esperamos pela tua colaboração na próxima edição!

Desafios e curiosidades

Desafio 1 — as meias

Numa gaveta, há 12 meias brancas, 12 meias pretas e 12 meias azuis. Quantas meias devemos retirar, ao acaso, para termos a certeza de obter um par de meias da mesma cor?

A resposta é simples: apenas 4 meias. As três primeiras podem ter todas cores diferentes. A quarta meia terá de repetir uma das cores.

Desafio 2 — os 13 pontos

Se marcarmos 13 pontos num retângulo 3 × 4, existem dois pontos tais que a distância entre si é menor do que $\sqrt{2}$.

Justificação: uma vez que temos 12 quadrados, ao colocarmos 13 pontos há pelo menos dois pontos, digamos A e B, num mesmo quadrado (pelo Princípio das gavetas de Dirichlet). Ora, num quadrado de lado 1, a distância máxima entre dois pontos é igual à diagonal, que nesse caso mede $\sqrt{2}$.

Curiosidade 2 — números de três algarismos

Porque é que este processo funciona?

1. Ao repetir o número $\overline{abc}$ ao lado do mesmo, obtém-se $\overline{abcabc}$, que é igual a $\overline{abc} \times 1000 + \overline{abc}$, isto é, $\overline{abc} \times 1001$ (basta colocares $\overline{abc}$ em evidência).
2. $13 \times 11 \times 7 = 1001$.
3. $\overline{abcabc}$ a dividir por 1001 dá $\overline{abc}$, o número inicial.

Parece magia, não é? Mas é simplesmente uma “habilidade” matemática!

Curiosidade 4 — algarismo das unidades

Multiplicando todos os números ímpares de 1 a 2023, qual é o algarismo das unidades do resultado? Seja $N = 1 \times 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times 2023$.

1. O número $N$ é ímpar.
2. O número $N$ é múltiplo de 5, dado que o 5 aparece na sua fatorização.

Já estás a ver em que algarismo termina: 5 (se é múltiplo de 5, termina em 0 ou 5; como é ímpar, termina em 5).

1) A nação de Zox

• A ilha mais pequena tem 1/10 dos Zoxianos de toda a nação de Zox → 75 Zoxianos.
• Uma das ilhas tem 1/5 da população total de Zox. Outra ilha tem 1/3 → 150 e 250 Zoxianos.
• Zop tem mais 100 pessoas do que a ilha mais pequena → Zop tem 175 Zoxianos.

75, 150, 175 e 250 são as populações apuradas. Logo, a quinta ilha tem 100 Zoxianos. Constatamos que Zob terá 150 Zoxianos (uma vez e meia de 100) e que Zod tem 250 Zoxianos (é a maior). Como a ilha mais pequena não é Zoz, a ilha mais pequena (75) é Zog e a que tem 100 é Zoz.*

Também poderíamos resolver o problema recorrendo a sistemas de equações.

* Na versão em papel, os nomes de Zog e Zoz apareciam trocados, contrariando a primeira pista; corrigimos na versão digital.

2) O quadrado que sobra

Nas duas figuras, a troca entre os triângulos verde e vermelho originou dois retângulos, A e B, com áreas diferentes, respetivamente: 15 unidades de área ($3 \times 5$) e 16 ($2 \times 8$). Como se justifica a existência do quadrado branco?

As figuras não são iguais porque não são triângulos! Repara que os triângulos verde e vermelho não são semelhantes, visto que as medidas dos seus lados não são proporcionais; o triângulo verde tem de base 5 e altura 2, e o vermelho tem base 8 e altura 3; por consequência, as hipotenusas não formam um segmento de reta e, portanto, as figuras não são triângulos. No entanto, estas diferenças são muito pequenas, criando esta ilusão.

3) Às compras

Timóteo gastou tudo o que tinha no bolso em cinco lojas. Em cada loja gastou 1 € a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto tinha o Timóteo no bolso à partida?

Resolução: vamos começar pela 5.ª loja, depois passamos para a 4.ª, e assim sucessivamente até à 1.ª loja. Se em cada loja o Timóteo gastou metade da quantia que tinha, ao entrar, mais 1 €, então em cada loja sobrou-lhe metade do que tinha, ao entrar, menos 1 €. Ao entrar na 5.ª loja, a quantia que tinha era a mesma que lhe tinha sobrado na 4.ª loja ($A$) e gastou-a toda, ficando com 0 euros:

$$\frac{A}{2} - 1 = 0 \iff A = 2$$

Analogamente:

$$\frac{B}{2} - 1 = 2 \iff B = 6, \qquad \frac{C}{2} - 1 = 6 \iff C = 14, \qquad \frac{D}{2} - 1 = 14 \iff D = 30, \qquad \frac{N}{2} - 1 = 30 \iff N = 62$$

Loja	Gastou	Sobrou
1	32	30
2	16	14
3	8	6
4	4	2
5	2	0

O Timóteo tinha 62 euros no bolso.

Problema de Monty Hall

Depois de feita a escolha da porta e de o apresentador abrir uma das portas, valerá a pena mudar a sua escolha?

Suponhamos que o carro está na Porta 1 (o mesmo raciocínio poderá ser feito para o caso de o carro estar numa das outras duas). Deparamo-nos com três casos diferentes:

1. O concorrente escolheu a porta 1. Neste caso, o apresentador abre uma das outras duas portas, onde está, naturalmente, uma cabra. Perante as duas portas fechadas à sua frente, o jogador terá de decidir se mantém a escolha ou se a altera. Dado que escolheu a porta certa, se mudar perde.
2. O concorrente escolheu a porta 2. Neste caso, o apresentador abre a porta 3, com a cabra. Perante as duas portas fechadas à sua frente (a 1 e a 2), se mudar, muda para a porta 1, pelo que vai ganhar o carro.
3. O concorrente escolheu a porta 3. Neste caso, o apresentador abre a porta 2, com a cabra. Perante as duas portas fechadas à sua frente (a 1 e a 3), se mudar, será para a porta 1, e ganha.

Ou seja, em duas das três situações possíveis, se mudar a sua escolha, ganha. A probabilidade de ganhar o carro, mudando a escolha, é $2/3$.

Conclusão: o concorrente deve mudar a sua escolha! Podes confirmar com o simulador da edição anterior.

Esperamos pelas tuas resoluções e sugestões!