Resoluções dos desafios da edição anterior

Os cálculos no Yupana — ábaco inca

• Representação de 28, 64 e 325.
• $47 + 35 = 82$.
• $322 + 185 = 507$.
• $35 \times 4 = 140$.
• $245 \times 13 = 245 \times 10 + 245 \times 3 = 3185$.

Desafios

Problema 1 — 38 triângulos e 27 hexágonos

100 jogos geométricos, Pierre Berloquin

Triângulos		Hexágonos
que ocupam 1 casa	24	que ocupam 6 casas	19
que ocupam 4 casas	12	que ocupam 24 casas	7
que ocupam 9 casas	2	que ocupam 54 casas	1
Total	38	Total	27

Problema 3 — economia doméstica

Eduardo Veloso e José Paulo Viana, Desafios 3, Edições Afrontamento

Quando se fala de percentagens surgem muitas vezes pequenas confusões e imprecisões que acabam em erros. Uma primeira questão é que a percentagem se relaciona sempre com uma quantidade tomada como referência.

Por exemplo, se um televisor custar 1500 € e outro 1200 €, pode dizer-se que o primeiro custa mais 25 % que o segundo. Neste caso, toma-se como referência o preço do segundo e, para calcular a percentagem, divide-se a diferença de preços (300 euros) por 1200: $300 : 1200 = 0{,}25$ ou 25 %. Mas se a referência for o primeiro televisor, é preciso dividir a diferença por 1500: $300 : 1500 = 0{,}20$ ou 20 %, e deve dizer-se que o segundo televisor é 20 % mais barato que o primeiro.

Vamos então ver agora como foram as compras da Ana Luzia. Sobre os detergentes, temos quatro informações: duas sobre os preços e outras duas sobre os pesos. Comecemos pelos preços.

Sabemos que NEV é 40 % mais caro que TIC. Para simplificar o nosso raciocínio, arbitremos um preço para a embalagem de TIC e que nos vai servir de referência: 100 €. Então NEV custa 140 €. Por outro lado, SOL é 20 % mais caro que NEV. A embalagem custará então 168 €: $140 \times 1{,}20 = 168$.

Analisemos agora os pesos. Arbitremos o valor 100 g para o peso da embalagem de TIC. Como a de SOL é 50 % mais pesada, o seu peso será 150 g. Sabemos também que a de NEV é 20 % mais leve que a de SOL, ou seja, pesará 80 % de 150: $150 \times 0{,}80 = 120$.

	Preço	Peso	Preço por unidade de peso
TIC	100	100	1,00
NEV	140	120	1,17
SOL	168	150	1,12

Portanto, a embalagem mais económica é a de TIC, enquanto que o detergente NEV é o que acaba por ficar mais caro. Não sabemos como é que a Ana Luzia fez os cálculos, mas se os fez mentalmente damos-lhe os parabéns…

Passemos agora à questão do queijo. Pode parecer à primeira vista que, como o aumento percentual é exatamente igual à diminuição da quantidade comprada, a despesa se mantenha inalterada. Mas não é isso que se passa. Para se perceber melhor, pode admitir-se que ela comprava normalmente 10 queijinhos, cada um com o preço de 10 €. Gastava 100 €. Como os preços aumentaram 10 %, cada queijo passou a custar 11 €, e a Ana Luzia comprou menos 10 % que o habitual, ou seja, levou apenas 9. O preço que pagou foi então de $9 \times 11 = 99$ €. Acabou, portanto, por gastar menos do que costumava. Poupou exatamente 1 % (mas comeu muito menos queijo…).

Finalmente, uma pequena história que ilustra as confusões e erros a que as percentagens se prestam. Há alguns anos, um jornal diário titulava: «Impostos aumentam 15 %». No desenvolvimento da notícia informava que o imposto profissional tinha aumentado 5 % e o imposto complementar 10 %! Dois erros se cometem aqui.

Primeiro, só se podem somar percentagens se a referência for a mesma. Por exemplo, se passarmos 10 % do tempo a ler e 5 % a ver televisão, gastamos sem dúvida 15 % do nosso tempo nestas atividades. Podemos somar, porque a base para o cálculo é o mesmo: o tempo disponível. Segundo, se as percentagens têm como referência quantidades diferentes, nada se pode dizer sobre a percentagem final. Com efeito, imaginemos uma pessoa que pagasse 1000 € de imposto: 200 € de profissional e 800 € de complementar. Com o aumento, pagaria mais $200 \times 0{,}05 + 800 \times 0{,}10 = 90$ €. Outra pessoa que pagasse 800 e 200 euros, respetivamente, pagaria um excesso de $800 \times 0{,}05 + 200 \times 0{,}10 = 60$ €. Então, para a primeira pessoa, estes dois impostos teriam, no total, aumentado 9 % enquanto que para a segunda o aumento seria de 6 %.

Múltiplos de 37

Ao multiplicarmos 37 pelos múltiplos de 3 menores do que 30, deparamo-nos com um facto curioso: dado que $3 \times 37 = 111$, se multiplicarmos 111 por 2, obtém-se 222, por 3, obtém-se 333, por 4, 444, e assim sucessivamente, até $9 \times 111 = 999$. Ora, esta regularidade equivale a multiplicar 37 por 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 e 27, por esta ordem.

$$\begin{aligned} 3 \times 37 &= 1 \times 3 \times 37 = 111 \\ 6 \times 37 &= 2 \times 3 \times 37 = 222 \\ &\;\;\vdots \\ 27 \times 37 &= 9 \times 3 \times 37 = 999 \end{aligned}$$

Mais uma vez, aquilo que parece “magia” é, simplesmente, habilidade matemática!

Esperamos pelas tuas resoluções e sugestões! Até para o ano. Boas férias!