Número de divisores

Quantos divisores tem o número 24, por exemplo? Começamos por fatorizar 24 em fatores primos:

$$24 = 2^3 \times 3$$

Os divisores são:

$$1,\; 2,\; 2^2,\; 2^3,\; 1 \times 3,\; 2 \times 3,\; 2^2 \times 3,\; 2^3 \times 3$$

O que pode ser visto da seguinte forma:

$$2^0 \times 3^0,\; 2^1 \times 3^0,\; 2^2 \times 3^0,\; 2^3 \times 3^0,\quad 2^0 \times 3^1,\; 2^1 \times 3^1,\; 2^2 \times 3^1,\; 2^3 \times 3^1$$

Ou seja, os divisores são da forma $2^k \times 3^t$, com $k \in \{0, 1, 2, 3\}$ e $t \in \{0, 1\}$. Há 4 escolhas para $k$ e 2 escolhas para $t$; assim, 24 tem $4 \times 2 = 8$ divisores.

E o número 720?

$$720 = 2^4 \times 3^2 \times 5, \quad\text{logo 720 tem } 5 \times 3 \times 2 = 30 \text{ divisores.}$$

De um modo geral, se

$$n = a^r \times b^s \times c^t, \quad\text{com } a, b, c \text{ números primos,}$$

podendo ter mais fatores primos na sua fatorização além destes três, o número de divisores de $n$ é dado por

$$(r + 1) \times (s + 1) \times (t + 1).$$