A ciclóide — a Helena da Geometria

Ano 3 · Edição 03 · maio 20255 de 112 min de leitura

Pela enorme quantidade de matemáticos que estudaram a curva, a ciclóide ficou conhecida como “A Helena da Geometria”, em alusão à Helena de Troia, cuja mitologia preconiza ser a mulher mais bonita da Grécia.

O responsável pela divulgação da ciclóide foi Galileu, no século XVI. O século XVII foi um período de grande interesse pela matemática da mecânica e do movimento, o que poderá explicar a atenção entusiástica dispensada à ciclóide.

A ciclóide é definida como a curva descrita por um ponto fixo de uma circunferência que gira, sem escorregar, ao longo de uma linha reta.

Circunferência a rolar sobre uma reta, com o ponto P a descrever a ciclóide — Figura 1

Posições P1 a P5 do ponto ao longo de um arco da ciclóide — Figura 2

Eis algumas das propriedades da ciclóide, descobertas durante o século XVII:

O seu comprimento é quatro vezes o diâmetro da circunferência que a gera.
A área delimitada pelo arco é o triplo da área do círculo que roda.
O ponto da circunferência que descreve a ciclóide assume diferentes velocidades — na realidade, há mesmo um local, $P_5$ , em que se encontra em repouso.

Na figura 2, cada circunferência representa um quarto de volta da circunferência em rotação. O comprimento do quarto de volta entre $P_1$ e $P_2$ é muito menor do que entre $P_2$ e $P_3$ . Consequentemente, o ponto aumenta a sua velocidade entre $P_2$ e $P_3$ , uma vez que deve percorrer um comprimento maior no mesmo intervalo de tempo.

O ponto permanece em repouso nos locais em que inverte o sentido do movimento.

O paradoxo do comboio

Há muitos paradoxos fascinantes explicados pela ciclóide. O paradoxo do comboio é especialmente intrigante:

Em qualquer momento, um comboio em movimento nunca se desloca inteiramente no sentido em que está a ser puxado pela máquina. Há sempre algumas partes que se movem no sentido oposto ao do resto do comboio.

Trajetória de um ponto do rebordo da roda de um comboio, que desce abaixo do carril e anda para trás — A figura mostra que há sempre uma parte do comboio que se move para trás, enquanto o comboio se desloca para a frente.

O segredo está no rebordo das rodas, que fica abaixo do carril: um ponto desse rebordo descreve uma ciclóide alongada, com pequenos laços em que anda, por instantes, para trás.

Demonstração · Ciclóide: a roda que desenha a curva isolada

Uma roda rola sobre uma reta e um ponto da roda desenha a ciclóide. Muda a posição do ponto para ver a ciclóide alongada do paradoxo do comboio.

Demonstração interativa «Ciclóide: a roda que desenha a curva»: experimente-a em https://maismat.miguelrocha.dev/demonstracoes/cicloide/

A ciclóide é uma das muitas curvas fascinantes da matemática.