Problemas vulgares com erros comuns

És aluno do 12.º ano? Esta rubrica é para ti! Neste artigo abordamos problemas de contagens nos quais os alunos manifestam alguma dificuldade, apresentando frequentemente erros de contagens. Vamos apresentar dois exemplos e explicar as suas resoluções.

Consideremos um grupo de 8 alunos, 5 raparigas e 3 rapazes.

Situação 1

Pretende-se formar um grupo de 3 alunos com uma rapariga, pelo menos. Duas respostas corretas são

$${}^{5}C_1 \times {}^{3}C_2 + {}^{5}C_2 \times {}^{3}C_1 + {}^{5}C_3 = 55 \qquad\text{ou}\qquad {}^{8}C_3 - {}^{3}C_3 = 55$$

Na primeira expressão, contam-se separadamente as três possibilidades existentes: o grupo tem 1 rapariga e 2 rapazes ou 2 raparigas e 1 rapaz ou 3 raparigas. Na segunda, considera-se a constituição do grupo que não é desejada: apenas rapazes, e ao total de grupos, sem restrições, retiram-se esses casos.

O ERRO TÍPICO é começar por escolher uma rapariga, o que pode ser feito de ${}^{5}C_1$ maneiras, e a partir daí, tendo garantida a existência de uma rapariga, escolher os outros dois alunos de entre os sete restantes. Parece-te bem, não é? Mas não está bem!

${}^{5}C_1 \times {}^{7}C_2$ dá um número muito mais elevado ($105$) do que o anterior. E porquê?

Coloquemos nomes aos oito alunos para facilitar a exposição: Ana, Berta, Catarina, Diana, Elsa, Fausto, Gabriel e Hugo.

• ${}^{5}C_1$ → pode ser escolhida a Ana, por exemplo;
• ${}^{7}C_2$ → podem ser escolhidos a Berta e o Hugo.

O grupo, neste caso, é constituído por A, B e H. Mas, do primeiro fator, poderia sair a escolha da Berta e, do segundo, a escolha da Ana e do Hugo, e o grupo seria o mesmo: A, B e H. Temos contagens repetidas, daí o número mais elevado.

A restrição “pelo menos” deve ser resolvida considerando separadamente as várias situações. Nunca com uma só expressão.

Situação 2

Quatro dos oito jovens anteriores, dois rapazes e duas raparigas, vão visitar uma exposição do Escher com o professor Gilberto num automóvel de 5 lugares. Naturalmente, o professor será o condutor. De quantas maneiras poderão preencher os 4 lugares disponíveis?

De entre as duas respostas seguintes, uma está certa e a outra errada. Vamos identificar o erro da que está errada e corrigi-lo:

$${}^{5}A_2 \times {}^{3}A_2 \qquad\text{e}\qquad {}^{5}C_2 \times {}^{3}C_2 \times 4!$$

A segunda expressão está correta: após a escolha do grupo de 4 alunos que irão para o automóvel, dois de cada sexo, consideram-se as $4!$ maneiras de se colocarem nos quatro lugares disponíveis.

A primeira expressão, ${}^{5}A_2 \times {}^{3}A_2$, está errada:

• ${}^{5}A_2$ dá-nos o número de maneiras de escolher 2 alunas e sentá-las em 2 lugares específicos. Mas quais? Há 4 lugares livres!
• ${}^{3}A_2$ dá-nos o número de maneiras de ocupar os dois lugares que restam com 2 rapazes, escolhidos de entre os 3 existentes.

O que falta? Escolher o grupo de dois lugares para as duas raparigas. Repara que há ${}^{4}C_2 = 6$ maneiras de o fazer. Assim, a resposta certa é

$${}^{4}C_2 \times {}^{5}A_2 \times {}^{3}A_2 = 6 \times 20 \times 6 = 720 = {}^{5}C_2 \times {}^{3}C_2 \times 4!$$

Sugestão: escolhe primeiro os grupos com os elementos e coloca-os depois!