As médias às vezes enganam

É quase instintivo pensar em média aritmética quando nos é pedido o valor central de um determinado conjunto de valores. É uma das três médias pitagóricas.

A média aritmética, amplamente utilizada, é obtida somando todos os valores e dividindo o valor encontrado pelo número de dados desse conjunto. Apesar de simples e intuitivo, esse método pode apresentar falhas significativas que nos conduzem a resultados matematicamente corretos, porém contextualmente incorretos.

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Como disse Herbert A. Simon, conceituado economista e filósofo:

Se colocarmos uma pessoa com os pés no congelador e a cabeça no forno, ela estará numa temperatura média ambiente, mas também estará morta.

Herbert Simon, no seu trabalho sobre tomadas de decisão e comportamentos humanos, foi um dos primeiros a destacar como podem ser enganosas as decisões baseadas em médias aritméticas. Defendeu que devem ser adotadas maneiras alternativas de descobrir tendências através de diferentes abordagens, em diversas áreas.

Três técnicas comummente utilizadas para obter o valor médio de um conjunto de dados são: a média ponderada, que na realidade é uma variante da média aritmética, a média geométrica e a média harmónica.

Média ponderada

A média ponderada tem em consideração a relevância de cada valor no conjunto de dados. Enquanto que na média aritmética simples todos os valores têm a mesma influência, o mesmo peso, na média ponderada alguns valores têm maior impacto, maior peso, no resultado final.

$$\bar{x}_p = \frac{p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n}{p_1 + p_2 + \cdots + p_n}$$

Atualmente, para quem frequenta o 10.º e 11.º anos, a nota de conclusão do secundário será calculada a partir de uma média ponderada, onde disciplinas anuais, bienais e trienais apresentam diferentes pesos, 1, 2 e 3 respetivamente. Esta nova abordagem reflete uma maior importância em matérias que foram mais desenvolvidas durante todo o percurso, diminuindo oscilações.

Média geométrica

A média geométrica, também ela da escola pitagórica, é uma forma de calcular um valor médio que leva em consideração o crescimento proporcional de um conjunto de $n$ números. Obtém-se multiplicando os $n$ valores e extraindo a raiz índice $n$ desse resultado.

$$G = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}$$

Este método é especialmente útil quando os valores representam taxas de crescimento, variações percentuais ou quantidades que se multiplicam ao longo do tempo. Este tipo de média é amplamente utilizado no cálculo da inflação acumulada, que varia de forma composta, ou seja, a inflação de um ano afeta a inflação do ano seguinte. Este efeito composto implica que tomemos em consideração a respetiva acumulação dos valores.

Média harmónica

A média harmónica é a terceira das médias pitagóricas — que inclui, também, a média aritmética e a média geométrica — e resulta da divisão da quantidade de elementos de um conjunto pela soma do inverso dos seus elementos. Diferentemente da média geométrica, esta toma em consideração o crescimento inversamente proporcional de um conjunto de valores.

$$H = \frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}}$$

Na Física, a média harmónica é muito utilizada para calcular velocidades médias, densidades de materiais variados e para determinar o caudal de líquidos.

Um exemplo com velocidades

Um carro faz 60 km a 60 km/h e volta pelos mesmos 60 km a 120 km/h. Qual foi a velocidade média?

A tentação é responder $\frac{60 + 120}{2} = 90$ km/h. Mas a ida demorou 1 hora e a volta meia hora: fez 120 km em 1,5 horas, ou seja, 80 km/h — que é precisamente a média harmónica:

$$H = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{120}} = 80.$$

Concluindo, calcular médias não é uma tarefa tão simples quanto imaginamos. É necessário compreender o contexto do problema de modo a utilizar o método que nos conduza ao menor erro possível. As médias referidas são todas técnicas corretas e eficazes, porém é preciso saber em que situações as devemos utilizar.

Fontes: brasilescola.uol.com.br, todamateria.com.br, mundoeducacao.uol.com.br, pt.wikipedia.org